Deteksi Autokorelasi dg Statistik Durbin-Watson

Pada tiga tullisan sebelumnya kita sudah membahas mengenai cara mendeteksi autokorelasi dengan metode grafik (lihat tulisan Manual:Deteksi Autokorelasi dg Grafik, SPSS:Deteksi Autokorelasi dg Grafik dan Excel:Deteksi Autokorelasi dg Grafik). Kali ini kita akan membahas cara mendeteksi autokorelasi dengan menggunakan statistik d dari Durbin-Watson (sering disingkat DW).
Pembahasan pada tulisan ini menggunakan contoh dari tiga tulisan sebelumnya. Karena itu, untuk dapat memahami tulisan ini silakan baca dulu tulisan-tulisan tersebut.
Statistik d dari Durbin-Watson memiliki rumus sebagai berikut:

Dimana et adalah residual tahun t, dan et-1 adalah residual satu tahun sebelumnya.
Perhatikan bahwa banyaknya observasi dalam pembilang dari rumus tersebut dimulai dari t=2, karena observasi pertama tidak dapat dihitung dalam mendapatkan perbedaan antara et dengan et-1.
Perhatikan tabel berikut untuk aplikasi rumusnya.

Kolom (1) adalah nilai residual (et) yang sudah pernah kita peroleh dari contoh pada tulisan-tulisan sebelumnya.
Kolom (2) adalah et-1. Copy saja data et pada kolom 1, tetapi urutkan satu baris kebawahnya. Dengan demikian data terakhir yaitu et = 69.06 jadi hilang
Kolom (3) adalah pengurangan dari et dengan et-1. Baris pertama dihilangkan/diabaikan
Kolom (4) adalah kuadrat dari kolom 3. Kemudian jumlahkan kolom 4 ini. Jumlah kolom 4 akan jadi pembilang dalam rumus kita
Kolom (5) adalah kuadrat dari kolom 1. Kemudian jumlahkan kolom 5 ini. Jumlah kolom 5 akan jadi penyebut dalam rumus kita.
Dengan demikian didapatkan statistik d dari Durbin-Watson sebagai berikut:

Setelah mendapatkan nilai d ini, bandingkan nilai d dengan nilai-nilai kritis dari dL dan dU dari tabel statistik Durbin-Watson. Tabel statistik Durbin-Watson ini biasanya ada pada lampiran-lampiran buku statistik.
Kriteria pengujiannya sebagai berikut:
Jika d < 4dL, berarti ada autokorelasi posiitif
Jika d > 4dL, berarti ada autokorelasi negatif
Jika dU < d < 4 – dU, berarti tidak ada autokorelasi positif atau negatif
Jika dL ≤ d ≤ dU atau 4 – dU ≤ d ≤ 4 – dL, pengujian tidak meyakinkan.
Dari tabel statistik Durbin-Watson dengan N=16 , jumlah variabel bebas = 1 dan taraf pengujian (α) = 5%, didapatkan nilai kritis dL = 1.10 dan nilai kritis dU = 1.37
Dengan membandingkan nilai d yang kita peroleh dari perhitungan terhadap dL atau dU dari tabel didapatkan bahwa:
d= 0.3423 < dL=1.10. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terdapat autokorelasi positif dari model regresi ini.
Berbagai program statistik juga sudah menyediakan perhitungan untuk statisik d dari Durbin-Watson ini. Diantaranya , program SPSS.
Untuk mendapatkan nilai d dari program SPSS, setelah anda memasukkan variabel Dependent dan Variabel Independent seperti dibawah ini:

Selanjutnya klik Statistics, maka akan muncul tampilan berikut:

Pada bagian Residuals, centang kotak Durbin-Watson dan klik Continue. maka dalam output SPSS akan disertakan nilai d dari Durbin-Watson. (catatan: jika anda mencoba dengan data latihan kita, mungkin hasilnya akan sedikit berbeda. Hal tersebut terjadi karena proses pembulatan)
Ok. Sekian dulu. Nanti kita sambung dengan pembahasan yang lain.

Baca Selengkapnya..

SPSS: Deteksi Autokorelasi dengan Grafik

Pada tulisan sebelumnya, telah dibahas cara mendeteksi autokorelasi dengan grafik yang dilakukan secara manual. Dengan menggunakan contoh latihan yang sama, kali ini akan kita coba menggunakan paket program SPSS. Untuk dapat mengikuti tulisan ini silakan lihat tulisan sebelumnya mengenai Manual: "Deteksi Autokorelasi dg Grafik". Lihat juga tulisan mengenai "“autokorelasi” dan mengenai “asumsi-asumsi regresi OLS”

Tahap-tahap dalam SPSS sebagai berikut:
1. Buka program SPSS, kemudian input data pada worksheetnya sebagai berikut:


2. Klik Analyze > Regression > Linear. Akan muncul tampilan berikut:

Masukkan variabel Y dalam kotak Dependent dan variabel X dalam kotak Independent
3. Klik Save, akan muncul tampilan berikut:



Centang Unstandarized pada Predicted Values dan pada Residuals. Kemudian klik Continue. Klik OK.
Perhatikan pada worksheet kita akan bertambah dua variabel baru dengan nama PRE_1 dan RES_1. Variabel PRE_1 adalah nilai Y prediksi dan RES_1 adalah nilai residual, sebagaimana yang pernah kita hitung sebelumnya. Sedangkan pada halaman output akan keluar hasil regresi kita seperti biasanya (tidak ditampilkan disini untuk menghemat halaman, dan untuk menjaga fokus pembahasan hanya pada deteksi autokorelasi)
Selanjutnya untuk mendapatkan plot antara residual (et) terhadap tahun, klik Graphs > Interactive > Line. Akan muncul tampilan berikut: (catatan: anda juga bisa mengganti Line dengan Dot atau Scatterplot. Hanya agak susah melihat secara visual pola residualnya).


Pilih 2-D Coordinate yang ada disudut kanan. Masukkan Unstandarized Residual pada kotak sumbu vertikal. Masukkan Tahun pada kotak sumbu Horizontal.
Selanjutnya klik Dots and Lines, akan keluar tampilan berikut:

Centang Dots pada Display dan klik OK. Maka akan keluar output sebagai berikut:

Hasil yang kita peroleh, sama dengan cara manual yang kita lakukan sebelumnya.
Ok sekian dulu, selamat berlatih.
Lihat juga tulisan terkait: Excel: Deteksi Autokorelasi dengan Grafik

Baca Selengkapnya..

Manual: Deteksi Autokorelasi dengan Grafik

Tulisan kali ini akan membahas mengenai cara mendeteksi autokorelasi dengan metode grafik. Untuk memahami mengenai autokorelasi ini silakan lihat tulisan sebelumnya mengenai “autokorelasi”. Lihat juga tulisan mengenai “asumsi-asumsi regresi OLS”

Dengan metode grafik, untuk mendeteksi autokorelasi pada data time series dilakukan dengan cara memplotkan et terhadap waktu (t) atau et dengan et-1. Nilai et ini merupakan pendekatan untuk melihat gangguan atau disturbansi populasi ut (atau ui seperti yang dijelaskan pada tulisan mengenai autokorelasi sebelumnya), yang tidak dapat diamati secara langsung.
Apa itu et ? et adalah nilai residual yang dapat diperoleh dari prosedur OLS yang biasa. Untuk perhitungannya dapat dilihat pada contoh dibawah.
Setelah memplotkan et terhadap t atau et dengan et-1, amati pola yang terjadi. Jika terdapat pola-pola yang sistematis, maka diduga ada autokorelasi. Sebaliknya, jika tidak terdapat pola yang sistematis (atau bersifat acak), maka tidak ada autokorelasi.
Ada beberapa pola et ini, diantaranya sebagai berikut:

Gambar (a) menunjukkan pola siklus dari plot residual terhadap waktu, pada suatu periode, ketika et meningkat diikuti oleh peningkatan et tahun berikutnya, dan pada periode lainnya ketika et menurun diikuti oleh penurunan et tahun berikutnya. Ini menunjukkan adanya autokorelasi positif.
Gambar (b) menunjukan pola kuadratis dari plot residual terhadap waktu. Sama dengan gambar (a) ini juga menunjukkan adanya autokorelasi positif.
Gambar (c) menunjukkan pola gerakan kebawah dan ke atas secara konstan. Ini menunjukkan adanya autokorelasi negatif.
Gambar (d) menunjukkan pola yang tidak beraturan, yang menunjukkan tidak adanya autokorelasi
Gambar (e) dan (f) adalah plot antara et dengan et-1. Gambar (e) menunjukkan pergerakan dari kiri bawah ke kanan atas yang menunjukkan autokorelasi positif (jika data pada gambar a atau b diplot terhadap et-1, bukan terhadap waktu, akan menghasilkan gambar e ini). Gambar (f) menunjukkan pergerakan dari kiri atas ke kanan bawah yang menunjukkan adanya autokorelasi negatif (jika data pada gambar c diplot terhadap et-1, bukan terhadap waktu, akan menghasilkan gambar f ini).

Ok, cukup pengantarnya. Sekarang kita lihat contoh perhitungannya.
Sebagai latihan, misalnya kita ingin melihat pengaruh tingkat bunga (X dalam persen) terhadap investasi (Y dalam milyar Rp). Data yang kita gunakan selama 16 tahun, mulai dari tahun 1993 sampai 2008, seperti yang terlihat pada tabel berikut ini (kolom 2 untuk Y dan kolom 3 untuk X)

Tahap-tahap yang kita lakukan adalah sebagai berikut:
Tahap 1. Bentuk persamaan regresi tersebut dengan variabel bebas adalah tingkat bunga dan variabel terikat adalah investasi. Hasil persamaan regresinya sebagai berikut (untuk ringkasnya, disini hanya dikutipkan persamaan regresinya. Untuk mengestimasi persamaan regresi ini, lihat tulisan sebelumnya, diantaranya mengenai Regresi Linear Sederhana):
Y = 403,212 – 14,421X
Tahap 2. Hitung prediksi Y (Ŷ) untuk masing-masing tahun dengan cara memasukkan nilai-nilai X pada masing-masing tahun pada persamaan regresi diatas. Misalnya, untuk tahun 1996, Ŷ = 403,212 – 14,421 (18,6) = 134,98. Demikian seterusnya.
Hasil perhitungan Ŷ untuk seluruh tahun diberikan pada kolom (4).
Tahap 3. Hitung nilai residual masing-masing tahun (et), dengan cara mengurangi Y data sebenarnya dengan Y prediksi. Misalnya untuk tahun 1998, et = 150 – 152,29 = -2,29. Demikian seterusnya.
Hasil perhitungan et untuk seluruh tahun diberikan pada kolom (5).
Tahap 4. Plot et terhadap tahun.
Plot et terhadap tahun, dengan et pada sumbu vertikal dan tahun pada sumbu horizontal (sebenarnya bisa juga dipertukarkan, hanya agak susah melihatnya). Grafik yang didapatkan grafik sebagai berikut:


Perhatikan pola yang terjadi pada plot residual ini. Terlihat adanya pola siklus. Pada suatu periode, ketika et meningkat diikuti oleh peningkatan et tahun berikutnya, dan pada periode lainnya ketika et menurun diikuti oleh penurunan et tahun berikutnya. Ini menunjukkan adanya autokorelasi positif

Sebagaimana yang dikemukakan sebelumnya, selain memplotkan et terhadap tahun, kita juga dapat mendeteksi autokorelasi dengan cara memplot et terhadap et-1. Plot et terhadap et-1 artinya kita memplotkan antara e tahun ini dengan e tahun sebelumnya. Misalnya e tahun 1997 dipasangkan dengan e tahun 1996. Demikian juga e tahun 1998 dipasangkan dengan e tahun 1997, seperti tabel berikut:


Setelah itu lakukan plot seperti plot antara et dengan tahun. Perbedaannya adalah, jika sebelumnya sumbu horizontal dari plot kita adalah tahun, maka sekarang sumbu horizontalnya adalah et-1.


Perhatikan pola yang terjadi pada plot residual ini, yang bergerak dari kiri bawah ke kanan atas. Ini menunjukkan adanya autokorelasi positif.

Ok, cukup sekian dulu tulisan ini. Lihat tulisan berikut mengenai Penggunaan SPSS untuk deteksi autokorelasi dg Grafik. Penggunaan Excel Deteksi autokorelasi dengan Grafik

Baca Selengkapnya..

Autokorelasi

Salah satu asumsi dalam model regresi linear klasik adalah tidak adanya autokorelasi. Apa itu autokorelasi ? Autokorelasi adalah kondisi dimana terdapat korelasi atau hubungan antar pengamatan (observasi), baik itu dalam bentuk observasi deret waktu (time series) atau observasi cross-section.
Misalnya untuk data deret waktu. Kita ingin membentuk regresi antara tingkat bunga dan investasi. Data yang digunakan adalah data kuartalan. Maka, kita berasumsi bahwa tingkat bunga pada suatu kuartal (misalnya kuartal I) hanya akan mempengaruhi investasi pada kuartal I tersebut, dan tidak mempengaruhi investasi kuartal berikutnya.
Begitu juga, untuk data cross-section. Misalnya kita ingin meregresikan antara pendapatan dan konsumsi. Data yang digunakan misalnya adalah data pendapatan dan konsumsi keluarga pada suatu periode waktu. Maka yang kita harapkan adalah konsumsi keluarga A hanyalah dipengaruhi oleh pendapatan keluarga A tersebut, tidak oleh pendapatan keluarga B. Jadi, jika terjadi peningkatan pendapatan keluarga B, maka tidak mempengaruhi konsumsi keluarga A.
Kalau misalnya pendapatan keluarga B meningkat, sehingga mempengaruhi konsumsinya (misalnya dia beli TV baru). Lalu karena melihat tetangganya beli TV baru, walaupun pendapatan keluarga A tidak meningkat, tetapi si A ini juga beli TV baru, maka itu namanya iri (eh salah, autokorelasi)
Dalam konteks regresi, tidak adanya autokorelasi tersebut dirumuskan sebagai berikut:
Cov (u_i,u_j) = E[u_i – E(u_i)][u_j – E(u_j)]
= E(u_iu_j)
= 0 i ≠ j
Dimana i dan j adalah dua pengamatan yang berbeda dan cov berarti kovarians. Secara kata-kata ini berarti bahwa gangguan ui dan uj tidak berkorelasi.
Lalu apa yang terjadi jika kita tetap menerapkan OLS dalam menaksir regresi ketika terjadi autokorelasi ? Konsekuensinya dalah sebagai berikut:
• Penaksir menjadi tidak efisien (tidak lagi mempunyai varians minimum)
• Uji t dan uji F tidak lagi sah, dan jika diterapkan dapat memberikan kesimpulan yang menyesatkan mengenai arti statistik dari koefisien regresi yang ditaksir
• Penaksir memberikan gambaran yang menyimpang dari nilai populasi yang sebenarnya. Dengan kata lain, penaksir menjadi sensitif terhadap fluktuasi penyampelan
Mengingat seriusnya konsekuensi autokorelasi tersebut, maka dalam penaksiran regresi perlu dilakukan pendeteksian apakah ada atau tidaknya autokorelasi dalam model yang dibangun. Selain itu, sebagai catatan meskipun autokorelasi dapat terjadi pada data cross sectional, tetapi masalah autokorelasi biasanya lebih umum terjadi pada data time-series.
Dalam konteks data time-series, banyak metode untuk mendeteksi autokorelasi. Namun demikian, dalam tulisan ini (yang akan dibahas pada sesi tulisan berikutnya) akan dilihat hanya dua metode yang umum digunakan yaitu metode grafik dan metode Durbin-Watson.

Lihat tulisan terkait berikut : Manual: Deteksi Autokorelasi dg Grafik

Baca Selengkapnya..

Asumsi Regresi OLS

Dalam suatu penelitian, umumnya kita tidak mempunyai data populasi (keseluruhan objek penelitian/pengamatan), tetapi hanya memiliki data sampel (bagian kecil dari populasi). Oleh karenanya, terkait dengan analisis regresi (sebagai alat analisis yang populer dan memiliki penggunaan luas dalam penelitian pada berbagai bidang ilmu), umumnya kita juga tidak dapat membentuk regresi dari data populasi (atau yang dikenal dengan fungsi regresi populasi=PRF). Melalui data sampel, kita hanya dapat membentuk fungsi regresi sampel (SRF) dan SRF tersebut yang dijadikan sebagai penaksir fungsi regresi populasi.
Dengan demikian, sasaran utama kita sebenarnya adalah menaksir PRF

atas dasar SRF yang dibentuk berdasarkan data sampel.

Dimana:

Dalam konteks tersebut, persoalan yang dihadapi adalah, bagaimana cara kita membentuk fungsi regresi sampel sehingga dapat dijadikan sebagai penaksir fungsi regresi populasi dengan tingkat ketepatan (keakuratan) yang tinggi.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam membentuk fungsi regresi tersebut. Namun demikian, dari sekian banyak metode, yang paling umum digunakan adalah metode kuadrat terkecil biasa (ordinary least squares = OLS).
Metode OLS pertama kali dikembangkan oleh Carl Friedrich Gauss. Dalam pendekatannya Gauss, membuat asumsi-asumsi berikut:
Asumsi 1.

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai yang diharapkan bersyarat (conditional expected value) dari ui, tergantung pada Xi tertentu, adalah nol. Dengan kata lain, nilai rata-rata dari deviasi yang berhubungan dengan setiap Xi tertentu harus sama dengan nol.
Asumsi 2.

Dimana i dan j adalah dua pengamatan yang berbeda dan cov berarti kovarians.
Asumsi ini menyatakan bahwa gangguan ui dan uj tidak berkorelasi. Asumsi ini dikenal dengan asumsi tidak adanya korelasi berurutan atau tidak ada autokorelasi.
Asumsi 3.

Dimana var berarti varians.
Asumsi ini menyatakan bahwa varians ui untuk tiap Xi (yaitu varians bersyarat untuk ui) adalah suatu angka konstan positif yang sama dengan σ2. Asumsi ini dikenal dengan asumsi homoskedastisitas, atau penyebaran (scedasticity) yang sama (homo), atau varians yang sama. Ini berarti bahwa untuk setiap Y yang berhubungan dengan berbagai nilai X mempunyai varians yang sama.
Sebaliknya, jika varians bersyarat Y tidak sama pada berbagai nilai X, maka disebut dengan istilah heterokedastisitas.

Indeks bawah i pada σ2 menunjukkan bahwa varians populasi Y tidak lagi konstan.
Asumsi 4.
Menyatakan bahwa gangguan u dan variabel bebas X tidak berkorelasi. Asumsi 4 ini secara otomatis terpenuhi kalau variabel X tak random atau tak stokhastik dan asumsi 1 berlaku.
Asumsi 4 tidak terlalu kritis dan semata-mata untuk menunjukkan bahwa teori regresi tetap berlaku meskipun X tak stokhastik atau random asalkan variabel tadi tak bergantung atau setidak-tidaknya tak berkorelasi dengan gangguan (disturbance) ui.
Model regresi yang memenuhi keempat asumi tadi dinamakan dengan model regresi klasik, standar atau linear umum. Model tadi klasik dalam arti bahwa model itu dikembangkan pertama kali oleh Gauss dalam tahun 1821 dan sejak itu telah berlaku sebagai normal atau standar untuk dijadikan sebagai pembanding bagi model regresi yang tidak memenuhi asumsi Gauss.
Tulisan ini merupakan tulisan pengantar mengenai asumsi-asumsi regresi klasik. Penjelasan lebih rinci mengenai masing-masing asumsi tersebut diatas (yang mungkin masih membingungkan), pengujiannya, penyimpangannya dan cara mengatasi jika terjadi penyimpangan terhadap asumsi-asumsi tersebut, akan dibahas pada seri-seri berikutnya dalam blog ini.

Baca Selengkapnya..

Contoh Aplikasi VECM (Seri 3. Resume Jurnal)

Tulisan ini adalah contoh aplikasi salah satu model regresi yaitu model VECM (Vector Error-Correction Model). Tulisan inidiresume dari: Kollias,C dan Paleologou SM.2006. "Fiscal Policy in the European Union. Tax and spend,spen and tax, fiscal synchronisation or institutional separation?" Journal of Economic Studies. Vol.33 No. 2; 2006

Isu ketidakseimbangan anggaran adalah salah satu tema sentral kebijakan ekonomi di banyak negara dan telah menjadi ukuran konvergensi utama dari perjanjian Maastricht (Maastricth Treaty). Memperbaiki ketidakseimbangan fiskal dan mempertahankan target defisit anggaran merupakan prasyarat untuk ikut dalam tahap akhir EMU (Economic and Monetary Union) di Eropa. Sementara itu, dalam perjanjian SGP (Stability and Growth Pact), negara-negara anggota eurozone berkomitmen untuk mencapai tujuan jangka menengah yaitu ke posisi surplus anggaran atau paling tidak mendekati keseimbangan.
Dalam konteks tersebut, studi ini bertujuan untuk meneliti hubungan jangka panjang antara penerimaan pajak dan pengeluaran pada 15 anggota Uni Eropa (EU15), yaitu Austria, Belgia, Denmark, Finlandia, Perancis, Jerman, Yunani, Irlandia, Itali, Luksemburg, Belanda, Portugal, Spanyol, Swedia dan Inggris. Negara-negara tersebut menunjukkan kinerja fiskal yang cukup bervariasi, dengan berbagai sistem pajak, dan dengan berbagai perbedaan tujuan redistribusi. Selain itu, 12 dari 15 negara tersebut juga ikut dalam perjanjian SGP.
Penelitian ini mengajukan dua hipotesis alternatif hubungan pengeluaran pemerintah dan penerimaan pajak, yaitu keduanya saling berhubungan atau tidak berhubungan. Dalam konteks saling berhubungan, penelitian ini merumuskan tiga hipotesis lanjutan yaitu: pengeluaran dan pajak, pajak dan pengeluaran, serta sinkronisasi fiskal. Hipotesis pajak dan pengeluaran menunjukkan bahwa perubahan dalam penerimaan pajak mengakibatkan perubahan dalam pengeluaran, yang berarti hubungan satu arah dari penerimaan ke pengeluaran pemerintah. Hipotesis pengeluaran dan pajak menunjukkan keputusan pengeluaran mendahului perubahan pajak, yang berarti hubungan satu arah dari pengeluaran pemerintah ke pendapatan. Hipotesis sinkronisasi fiskal menunjukkan keputusan pemerintah antara penerimaan pajak dan pengeluaran dilakukan secara simultan. Ini berarti adanya hubungan dua arah antara dua variabel. Selanjutnya, hipotesis tidak adanya hubungan mengacu ke hipotesis pemisahan kelembagaan. Ini berarti tidak ada hubungan antara keputusan penerimaan dan pengeluaran.
Variabel yang digunakan adalah total pengeluaran dan penerimaan pemerintah, ditambah dengan GDP sebagai variabel kontrol, dengan periode pengamatan adalah 1960-2002, kecuali untuk Luksemburg dan Portugal yang masing-masingnya dimulai dari 1973 dan 1970, dan Spanyol yang dimulai dari 1962. Semua variabel dalam harga berlaku, dan sebelum diestimasi terlebih dahulu ditransformasi secara logaritma. Dalam kasus GDP (y), karena terdapat masalah stasioner untuk ke 15 negara anggota Uni Eropa, di detrend melalui Hodrick-Prescott filter menggunakan parameter lambda (γ) sebagai koefisien smoothing.

λ adalah non-negatif scaler (yakni suatu vektor dengan semua elemen sama dengan λ ≥ 0).
Penelitian ini menggunakan uji standar Augmented Dickey-Fuller (ADF) dan Phillips-Perron (PP) dengan memasukkan konstanta tanpa trend untuk menguji sifat data time seriesnya. Hasil pengujian ADF dan PP pada Tabel 1, menunjukkan bahwa penerimaan pajak (lr), pengeluaran pemerintah (le) dan PDB (ly) adalah I(1).
Selanjutnya berdasarkan uji kointegrasi menggunakan Johansen’s full information maximum likelihood (JML), didapatkan bahwa variabel yang diteliti terkointegrasi dan statistik trace Johansen mengkonfirmasikan bahwa terdapat suatu hubungan kointegrasi antara variabel pada kelimabelas negara angggota uni Eropa.(lihat tabel 2).
Model untuk menguji kausalitas pada masing-masing negara dinyatakan sebagai model koreksi kesalahan (ECM) dan diberikan dalam persamaan (2) dan (3)

dimana SPEit = pengeluaran pemerintah, REVit = penerimaan pemerintah, GDP sebagai variabel kontrol dan cit adalah konstanta. γiZt-1 mengandung γ term kointegrasi, menunjukkan keberadaan hubungan keseimbangan jangka panjang antar variabel. εit adalah error term. Uji kausalitas Granger didasarkan pada apakah koefisien ΔREVt-1, ΔSPEt-1 atau ΔGDPt-1 secara statistik berbeda dari 0 berdasarkan uji F dan koefisien dari ECM juga signifikan
Klik disini untuk melihat Tabel 1 & 2. Uji Akar Unit dan Uji Kointegrasi
Karena variabel yang diteliti memiliki vektor kointegrasi, selanjutnya dilakukan uji kausalitas dengan menggunakan penyelidikan Engle dan Granger (1987). Penentuan panjang lag untuk uji kausalitas Granger menggunakan urutan prosedur Hsiao (1979a,b, 1981). Prosedur ini didasarkan pada definisi kausalitas Granger definisi dan kriteria minimum final prediction error (FPE) Akaike's (1974). Dalam Tabel 3 terlihat adanya hubungan sistematis antara penerimaan pemerintah, pengeluaran pemerintah dan GDP.
Berdasarkan hasil penelitian ini (diringkas dalam tabel 3), perbedaan signifikan dalam proses pengambilan keputusan anggaran terjadi baik di seluruh grup maupun pada sub-group zona Eropa tanpa pola tertentu. Hipotesis sinkronisasi fiskal terlihat dalam kasus Denmark, Yunani, Irlandia, Belanda, Portugal dan Swedia. Hipotesis Buchanan-Wagner (yaitu kausalitas satu arah dari penerimaan ke pengeluaran dengan dampak negatif dari penerimaan terhadap pengeluaran - yang menunjukkan bahwa kenaikan penerimaan akan mengakibatkan penurunan pengeluaran melalui ilusi fiskal), terlihat di Finlandia, Perancis dan Inggris. Bukti kausalitas satu arah dari pengeluaran ke pendapatan juga ditemukan dalam kasus Luksemburg tetapi dampaknya positif, sehingga dalam kasus ini tidak mendukung hipotesa Buchanan-Wagner. Hipotesis pajak dan pengeluaran terlihat di Italia dan Spanyol. Terakhir, hipotesa pemisahan kelembagaan terlihat dalam kasus Austria, Belgia dan Jerman.
Klik disini untuk melihat Tabel 3. Uji Kausalitas Granger

Baca Selengkapnya..

Pertumbuhan Ekonomi dan Dampaknya terhadap Distribusi Pendapatan (Seri 2. Resume Jurnal)

Diresume dari:
Nissim,Ben-David.2007. "Economic Growth and Its Effect on Income Distribution".Journal of Economic Studies Vol.34 No.1;2007

Tujuan utama dari paper ini adalah mengkaji dampak pertumbuhan ekonomi terhadap mobilitas pekerja dan dampak mobilitas pekerja terhadap distribusi pendapatan. Paper ini memusatkan perhatian pada dampak akumulasi modal terhadap distribusi pendapatan, dalam konteks model over-lapping generation dengan kapital mengacu pada model Diamond (1965). Paper ini kemudian mengembangkan analisis model memasukkan berbagai kategori pekerja, dimana kategori tersebut didasarkan pada kemampuan produksi masing-masing individu.
Model dikembangkan berdasarkan asumsi perekonomian dalam kondisi pasar persaingan sempurna, dimana terdapat banyak perusahaan dan setiap perusahaan menggunakan dua faktor produksi yaitu tenaga kerja dan kapital. Seluruh individu hidup selama dua periode, bekerja selama periode pertama dan pensiun mulai periode kedua. Setiap individu menabung bagian pendapatan yang diperoleh dari periode pertama, dan tabungan termasuk bunganya, membiayai konsumsinya pada periode kedua. Selama masing-masing periode, baik yang orang muda maupun orang tua masih hidup dan tingkat pertumbuhan penduduk sama dengan nol.
Berdasarkan pengembangan model tersebut, paper ini mendapatkan hal-hal berikut:

Persediaan dan Permintaan Kapital.
Dalam setiap generasi, pengusaha muda tidak memiliki kapital dan harus meminjam untuk kebutuhan perusahaan baru mereka. Generasi yang lebih muda meminjam dari generasi yang lebih tua sejumlah kapital yang sama dengan nilai kapital terdepresiasi dari generasi sebe-lumnya ditambah seluruh tabungan dari generasi sebelumnya. Persediaan kapital pada waktu t-1 adalah K_t-1, tingkat depresiasi adalah d, total tabungan generasi sebelumnya adalah generasi St-1, dan It adalah investasi bersih pada periode t. Generasi lebih muda meminjam dari generasi yang lebih tua sejumlah K_t-1(1-d) + S_t-1 , sehingga persediaan kapital pada waktu t menjadi:


Sumber pembiayaan modal.
Generasi yang lebih muda akan meminjam dari generasi yang lebih tua sejumlah Kt, dan harus membayar mereka selama satu generasi sekarang sejumlah (1 + r)Kt. Generasi yang lebih muda saat ini akan membiayai sebagian pembayaran melalui pinjaman modal terdepresiasi generasi berikutnya (1 - d)Kt dan tabungan St. Generasi yang lebih muda dimasa datang akan membayar generasi muda yang lebih muda saat ini sejumlah:

Generasi yang lebih muda saat ini menerima suatu jumlah tambahan dari:

Jika konsumsi generasi berikutnya adalah (1 – r)St, generasi yang lebih muda saat ini akan menutupi depresiasi (1 + r)dKt, dari produksi mereka saat ini.

Produksi dan Pasar Faktor.
Asumsikan ht adalah jumlah perusahaan yang aktif di pasar pada periode t. Setiap perusahaan memiliki kemampuan produksi yang sama dan satu pengusaha hanya dapat memiliki satu perusahaan. Perusahaan hanya dapat memproduksi satu barang konsumsi. Produksi yang terjadi dalam jangka waktu tertentu mengacu pada suatu “constant return to scale”. Output dari produk satu perusahaan pada waktu t adalah:

Lit untuk i = 1,….,p mewakili jumlah pekerja pada kategori i
Pemilik perusahaan memiliki kategori pekerja p+1, dan didefinisikan L_p+1,t=ht,kt adalah jumlah kapital di setiap perusahaan. Karena fungsi produksi adalah constan return to scale, dengan asumsi keseimbangan jangka panjang dalam pasar produk pada setiap generasi, maka setiap perusahaan akan menggunakan sejumlah kapital optimal yang sama. Jumlah kapital setiap perusahaan adalah kt = Kt/L_p+1,t, di mana jumlah kapital dalam perekonomian adalah Kt. Diasumsikan laju pertumbuhan tenaga kerja = 0. Jika mobilitas tenaga kerja sempurna:

FLit adalah produk marjinal pekerja pada kategori i dan pada periode t
Pendapatan pemilik perusahaan adalah:

Karena teknologi produksi, jumlah kapital dan jumlah pekerja dari setiap kategori adalah sama untuk semua perusahaan, didapatkan bahwa setiap perusahaan menghasilkan jumlah produk yang sama dan pekerja pada yang dipekerjakan pada kategori yang sama dibayar dengan upah yang sama di semua perusahaan. Pendapatan dari semua pemilik perusahaan juga sama.

Konsumsi dan tabungan.
Dalam setiap periode t, dilahirkan pekerja sebanyak Lt=ΣL_it . Individu i, yang lahir pada waktu t, dicirikan oleh fungsi utiliti inter-temporal mereka U(C_0t,C_1t) yang didefinisikan konsumsi non-negatif selama periode pertama dan kedua dari kehidupan mereka. Dimana C_0t adalah konsumsi individu i, yang lahir pada periode t, ketika ia masih muda dan C_1t adalah konsumsi individu i, yang lahir pada periode t, ketika ia sudah tua. Selama periode pertama kehidupannya, individu yang lahir pada waktu t mensuplai satu unit tenaga kerja inelastis. Pendapatan upah yang dihasilkan dialokasikan antara konsumsi periode pertama C_0t dan tabungan S_0t . Setiap individu berusaha memaksimalkan utilitasnya dengan kendala anggaran dua periode:

W_0tadalah upah individu i yang lahir pada periode t, ketika dia muda; W_1t adalah upah invidu i yang lahir pada periode t, ketika dia tua; t adalah tingkat pajak; W_1t = 0, karena dia tidak bekerja ketika tua. Untuk penyederhanaan dapat didefinisikan W_0t = W_1t.
Penyelesaian problem maksimisasi pada (7) dan menggunakan (5) dan (6) akan didapatkan tabungan agregat pada periode t:

Selanjutnya dengan mensubstitusikan (11a) untuk St pada persamaan (1) (dengan transformasi fungsi Kt menjadi Kt+1), didapatkan kapital agregat pada periode t+1:

Keseimbangan stasioner akan ada untuk Kt+1=Kt

Distribusi pendapatan.
Distribusi pendapatan akan berubah pada setiap generasi mengikuti perubahan distribusi pekerja pada berbagai kategori dan perubahan dalam jumlah pemilik perusahaan. Karena asumsi jumlah penduduk tidak berubah dari satu generasi ke yang lainnya, maka setiap pekerja memiliki satu anak dan setiap pemilik perusahaan mendidik anaknya menjadi pemilik perusahaan seperti dirinya dan setiap pekerja mendidik anaknya menjadi pekerja di kategori yang sama seperti dirinya. Dengan kondisi seperti itu, jika jumlah perusahaan tidak berubah, distribusi pekerja dalam berbagai kategori serta distribusi pendapatan tidak akan berubah, tetapi ketika stok modal tumbuh, perusahaan baru akan dibuat. Hal ini disebabkan asumsi bahwa ukuran yang optimal dari masing-masing perusahaan akan tetap konstan di semua generasi dan tidak terjadi perubahan teknologi.
Selanjutnya, dengan asumsi distribusi kemampuan antar penduduk di setiap generasi adalah konstan, maka setiap pekerja mencoba untuk mencari pekerjaan dalam kategori yang sesuai kemampuannya. Namun, kemampuan pekerja tidak selalu tetap, sehingga mereka mungkin sesuai untuk pekerjaan dalam kategori lainnya. Pekerjaan mereka yang ditentukan oleh kemampuan mereka dan ketersediaan lapangan kerja di pasar tenaga kerja. Mengingat karakteristik yang dibutuhkan untuk menjadi pengusaha yang baik didistribusikan antar populasi, maka pada setiap generasi akan ada mobilitas individu dari kelas pekerja ke kelas pemilik perusahaan. Dalam setiap generasi, jumlah perusahaan dan jumlah pemilik perusahaan ditentukan oleh tingkat modal. Jika terjadi pertumbuhan tingkat modal, maka jumlah perusahaan dan jumlah pemilik perusahaan akan tumbuh.
Karena ukuran populasi adalah konstan, maka jumlah penduduk dalam kelas pekerja akan berkurang. Beberapa pekerja akan naik ke kategori yang lebih baik, mengisi kesenjangan yang terjadi karena perpindahan anggota kelas pekerja ke kelas pemilik perusahaan. Setiap pekerja yang bergerak ke atas dan mengisi kesenjangan akan menyebabkan kesenjangan pada kategori yang ditinggalkannya, yang pada gilirannya, akan diisi oleh seorang pekerja yang berasal dari kategori yang lebih rendah. Maka terlihat bahwa ketika modal tumbuh, dan jumlah pemilik perusahaan tumbuh, akan menyebabkan mobilitas yang mengarah ke pengurangan jumlah pekerja dalam kategori rendah. Pekerja yang meningkat ke kategori yang lebih tinggi, meningkatkan produk marjinal serta pendapatan. Dalam setiap periode waktu, ketika modal tumbuh, maka akan ada perbaikan dalam distribusi pendapatan. Ketika modal mencapai suatu steady state, distribusi pendapatan juga akan steady state.
Paper ini selanjutnya juga memberikan simulasi penerapan model overlapping generation dengan berbagai kategori pekerja tersebut. Dari hasil simulasinya disimpulkan bahwa ketika terjadi peningkatan stok kapital, pekerja akan bergerak (mobil) pada pekerjaan yang lebih baik, pendapatan mereka akan meningkat dan distribusi pendapatan menjadi lebih seimbang.

Baca Selengkapnya..

Hubungan Tabungan-Investasi dlm Periode Perubahan Struktural (Seri 1. Resume Jurnal)

Diresume dari:
Pappetrou,E.2006. "The Saving-Investment Relationship in Periods of Structural Change: The Case of Greece". Journal of Economic Studies. Vol. 33 No.2;2006

Ide awal dari kajian dalam jurnal ini berasal dari studi Feldstein dan Horioka (1980) yang menunjukkan adanya hubungan positif antara ratio investasi/GDP dengan ratio tabungan/GDP. Berdasarkan sampel 16 negara OECD ditemukan bahwa 85 - 95 persen tabungan nasional yang diinvestasikan secara domestik. Mereka mengemukakan bahwa hal tersebut secara tidak langsung menunjukkan mobilitas kapital jangka panjang yang sangat rendah, karena pada suatu negara dengan tingkat mobilitas kapital yang rendah (sebagai gambaran dari perekonomian tertutup), seluruh tabungan domestik akan digunakan untuk membiayai investasi domestik. Sebaliknya, dalam suatu negara dengan mobilitas kapital yang tinggi, tabungan domestik dapat diinvestasikan keluar negeri, yang menyebabkan tidak ada hubungan tabungan domestik dan tabungan eksternal.
Sebagian besar studi yang menggunakan data empiris data dari AS dan negara-negara industri lainnya memang memperlihatkan adanya hubungan positif antara tabungan dan investasi. Namun, studi-studi tersebut masih mengabaikan fakta bahwa korelasi tabungan dan investasi tergantung pada rejim politik, dan mobilitas kapital internasional berbeda dari waktu ke waktu. Ini dibuktikan oleh beberapa peneliti pada tahun-tahun belakangan ini. Dari data panel dari negara-negara OECD yang berbeda, ditemukan hubungan investasi-tabungan bervariasi antar negara dan dari waktu ke waktu, dan tergantung pada tingkat mobilitas kapital internasional, struktur keuangan antar negara, tingkat pendapatan perkapita dan ukuran negara. Selain itu, beberapa kajian pada data satu negara menemukan tidak adanya hubungan jangka panjang antara tabungan dan investasi ketika unsur perubahan rejim kebijakan utama diperhitungkan dalam model.
Studi dalam jurnal ini dilakukan di Yunani, dengan fokus melihat hubungan dinamis antara tabungan dengan investasi yang diestimasi melalui derajat korelasi tabungan-investasi pada berbagai periode waktu. Derajat korelasi ini diinterpretasikan sebagai koefisien retensi tabungan (saving retention coefficient). Dalam studi ini, estimasi hubungan antar variabel dilakukan melalui empat tahapan. Pertama, pengujian tingkat integrasi dari variabel, dengan menggunakan uji akar unit (unit root). Kedua, pengujian kointegrasi dengan menggunakan estimator Philip dan Hansen (PH). Ketiga, estimasi dan pengujian vector error-correction modeling (VECM). Keempat, estimasi model dengan menggunakan empat metode estimasi error correction model (ECM) yaitu estimasi recursive OLS, rolling OLS, penaksir Kalman filter dan MS-R (Marcov switching regime).
Data yang digunakan adalah data kuartalan negara Yunani untuk periode 1980:Q1 sampai 2003:Q4. Variabel tabungan adalah total tabungan nominal (SAV) yang adalah jumlah tabungan private dan tabungan public. Investasi (INV) adalah total investasi kapital bruto. Keduanya diestimasi sebagai persen dari nominal GDP (INVGDP dan SAVGDP).
Selanjutnya, dari hasil penelitian ditemukan bahwa, berdasarkan uji ADF, PP, KPSS dan Zivot-Andrews terlihat secara statistik variabel investasi dan tabungan terintegrasi satu sama lainnya. Hasil analisis kointegrasi menggunakan metodologi Philips-Hansen juga menunjukkan bahwa kedua variabel signifikan secara statistik dalam vector kointegrasi. Hubungan kointegrasi yang diestimasi sebagai berikut (standar error dalam kurung):

Hubungan yang diestimasi merupakan hubungan jangka panjang dari model antarwaktu pada perekonomian terbuka dengan asumsi mobilitas kapital yang sempurna, dan tidak dapat menggambarkan pengaruh perubahan mobilitas kapital pada berbagai periode waktu tersebut. Untuk menggambarkan perubahan mobilitas kapital, tahap pertama, dilakukan estimasi ECM untuk seluruh periode waktu. Berdasarkan estimasi parameter tersebut terlihat bahwa ECT (yang mengukur disekuilibrium jangka panjang), signifikan secara statistik pada persamaan investasi. Ini menunjukkan bahwa variabel investasi cenderung untuk memulihkan ekuilibrium dan memiliki peran utama dalam setiap guncangan (shock) ekuilibrium tersebut. Uji t untuk ECT menunjukkan, pada level signifikansi 1 %, investasi bukan merupakan variabel eksogen yang lemah (Tabel I, model linear). Namun, metode ini tidak dapat menggambarkan perubahan regim. Ini disebabkan ECT memiliki nilai tetap dari waktu ke waktu berdasarkan rata-rata OLS rejim lama dan rejim baru. Karenanya, koefisien yang diestimasi dianggap sebagai suatu rata-rata dari keseluruhan periode.
Pada tahap berikutnya, model ECM diestimasi dengan menggunakan OLS recursive, rolling OLS (windows=50) dan estimator Kalman filter untuk menggambarkan perubahan struktural yang mempengaruhi koefisien retensi tabungan. Estimasi koefisien ECT ditunjukkan pada gambar 1.
Terdapat beberapa hal penting yang dapat dijelaskan dari gambar 1. Pertama, estimasi koefisien dengan menggunakan metode OLS recursive dan Kalman filter cenderung bergerak bersama-sama. Koefisien pada berbagai waktu yang diestimasi dari rolling regresi cenderung secara absolut menurun terutama setelah 1996. Kedua, koefisien yang diestimasi menurun secara absolut dari waktu ke waktu yang menunjukkan bahwa besaran absolutnya berhubungan terbalik dengan tingkat pembangunan sistem pasar keuangan dan tingkat kebebasan mobilitas kapital. Ketiga, profil waktu dari ECT konsisten dengan hipotesis yang menyatakan ketika tingkat mobilitas kapital tinggi, korelasi tabungan-investasi adalah lemah, karena hubungan semacam ini tidak konsisten dengan integrasi pasar keuangan.
Gambar 1. Estimasi ECT pada Berbagai Periode Waktu


Tabel 1. Hasil Estimasi

Catatan: trend dan tiga lag dari investasi dan saving pada seluruh model merupakan % dari GDP. Angka dalam kurung adalah t-statistik, ** dan *** menunjukkan signifikan pada 5 persen dan 1 persen.

Selanjutnya, tabel 1 menyajikan estimasi ECM menggunakan model MS-R dengan tiga lag. Rejim 1 ditandai oleh sistem perbankan yang sangat diatur. Pasar keuangan sempit dan kecil dan transaksi kurs luar negeri diatur sangat ketat. Selama rejim 2, liberalisasi keuangan dalam proses bertahap. Liberalisasi keuangan secara sempurna selesai pada akhir rejim 2. Rejim 3 ditandai oleh mobilitas kapital yang sempurna. Dari tabel tersebut terlihat bahwa standar error berbeda antar rejim, yang menunjukkan adanya perbedaan korelasi antara dua variabel pada rejim yang berbeda. Koefisien ECT yang diestimasi bernilai negative dan secara statistik signifikan hanya untuk rejim pertama yang memiliki mobilitas kapital rendah. Sebaliknya, untuk rejim 2 dan 3, koefisien yang diestimasi tidak signifikan secara statistik dan semakin mengecil dalam besarannya. Ini menunjukkan bahwa hubungan jangka panjang antara tabungan dengan investasi menjadi melemah ketika secara bertahap dilakukan deregulasi dalam hal pengontrolan pasar keuangan.
Dari analisis empiris didapat kesimpulan penting mengenai hubungan antara investasi dan tabungan. Pertama, koefisien retensi tabungan lebih tinggi pada mobilitas kapital yang rendah dan menjadi lebih kecil pada liberalisasi pasar keuangan yang disertai mobilitas kapital yang lebih tinggi. Kedua, seluruh metode estimasi menunjukkan bahwa koefisien jangka panjang pada berbagai periode waktu antara investasi dan tabungan menjadi lebih kecil dalam besarannya, jika terdapat liberalisasi keuangan dan mobilitas kapital dalam perekonomian. Penemuan ini konsisten secara umum dengan pandangan bahwa jika koefisien retensi tabungan merupakan indikator mobilitas kapital, maka nilainya harus lebih kecil ketika mobilitas kapital tinggi.

Baca Selengkapnya..

Regresi Binary Logit (Seri 6 Model Ekonometrik dg SPSS)

Sebagai kelanjutan dari tulisan mengenai model pilihan kualitatif, pada bagian ini, akan dijelaskan contoh model binary logit dan estimasinya dengan menggunakan program SPSS. Sebagai contoh ilustratif, misalnya ingin diprediksi pengaruh umur, jenis kelamin dan pendapatan terhadap pembelian mobil. Berdasarkan hasil survai terhadap 48 responden, didapatkan datanya sebagai berikut:



Dimana:
Y = 1, jika konsumen membeli mobil, = 0 jika konsumen tidak membeli mobil
X1 = umur responden dalam tahun
X2 = 1, jika konsumen berjenis kelamin wanita, = 0 jika konsumen berjenis kelamin pria
X3 = 0, jika konsumen berpendapatan rendah, = 1 jika konsumen berpendapatan sedang
= 2 jika konsumen berpendapatan tinggi
Tahapan-tahapan estimasi dalam SPSS sebagai berikut:
1. Setelah data diinput dalam lembar kerja SPSS kemudian klik Analyze > Regression > Binary Logistic , selanjutnya akan muncul tampilan berikut:



2. Masukkan Y sebagai variable dependent dengan cara klik Y di kotak kiri, kemudian klik tanda panah disamping kotak Dependent. Masukkan X1, X2 dan X3 kedalam kotak Covariates, dengan cara klik masing-masing variable, kemudian klik tanda panah disamping kotak covariates.
3. Selanjutnya, karena variabel X3 merupakan peubah kategori (ordinal) dengan lebih dari dua kategori (yaitu 0=pendapatan rendah, 1=pendapatan sedang dan 2=pendapatan tinggi) maka diubah terlebih dahulu ke dalam 2 variabel dummy, untuk mengembangkan model yang logis dan mudah diinterpretasi, sebagai berikut: (ini sama dengan prosedur regresi dengan variabel bebas dummy sebelumnya)
X3_1 = 1, jika konsumen berpendapatan menengah
0, jika selainnya
X3_2 = 1, jika konsumen berpendapatan tinggi
0, jika selainnya
Dalam program SPSS untuk mengkonversi ini dengan cara klik Categorical dari tampilan diatas, maka akan muncul tampilan berikut:


Selanjutnya, klik X3, klik tanda panah disamping Categorical Covariates. Pilih Reference Category dengan First, kemudian klik Change dan Continue. Selanjutnya klik OK.

4. Akan keluar output SPSS untuk regresi logit sebagai berikut (disini hanya ditampilkan bagian-bagian terpenting saja yang akan dibahas):


Printout di tabel pertama diatas menjelaskan transformasi variabel X3 dengan kategori 0,1 dan 2 menjadi dua variabel dummy yaitu X3_1 dan X3_2. Seperti yang terlihat dari tabel tersebut, variabel X3_1 bernilai 1 untuk kategori 1 (pendapatan menengah) dan 0 untuk kategori lainnya. Variabel X3_2 bernilai 1 untuk kategori 2 (pendapatan tinggi) dan 0 untuk kategori lainnya. Dengan demikian, kategori 0 (pendapatan rendah) akan bernilai 0 baik pada variabel X3_1 dan X3_2.
Printout di tabel kedua diatas merupakan nilai Khi-kuadrat (χ2) dari model regresi. Sebagaimana halnya model regresi linear dengan metode OLS, kita juga dapat melakukan pengujian arti penting model secara keseluruhan. Jika metode OLS menggunakan uji F, maka pada model logit menggunakan uji G. Statistik G ini menyebar menurut sebaran Khi-kuadrat (χ2). Karenanya dalam pengujiannya, nilai G dapat dibandingkan dengan nilai χ2 tabel pada α tertentu dan derajat bebas k-1. (kriteria pengujian dan cara pengujian persis sama dengan uji F pada metode regresi OLS). Tetapi, kita juga bisa melihat nilai p-value dari nilai G ini yang biasanya ditampilkan oleh sofware-software statistik, termasuk SPSS.
Dari output SPSS, didapatkan nilai χ2 sebesar 18,131 dengan p-value 0,001. Karena nilai ini jauh dibawah 10 % (jika menggunakan pengujian dengan α=10%), atau jauh dibawah 5% (jika menggunakan pengujian dengan α=5%), maka dapat disimpulkan bahwa model regresi logistik secara keseluruhan dapat menjelaskan atau memprediksi keputusan konsumen dalam membeli mobil.
Printout di tabel ketiga memberikan estimasi koefisien model dan pengujian hipotesis parsial dari koefisien model. Dalam pelaporannya, model regresi logistiknya dapat dituliskan sebagai berikut:

Dari output SPSS diatas menjadi sebagai berikut:

Model ini merupakan model peluang membeli mobil [(P(xi)] yang dipengaruhi oleh faktor-faktor umur, jenis kelamin dan pendapatan. Model tersebut adalah bersifat non-linear dalam parameter. Selanjutnya, untuk menjadikan model tersebut linear, dilakukan transformasi dengan logaritma natural, (transformasi ini yang menjadi hal penting dalam regresi logistik dan dikenal dengan istilah ”logit transformation”), sehingga menjadi (pembahasan lebih rinci, silakan dibaca buku-buku ekonometrik):


1-P(xi) adalah peluang tidak membeli mobil, sebagai kebalikan dari P(xi) sebagai peluang membeli mobil. Oleh karenanya, ln [P(xi)/1-P(xi)] secara sederhana merupakan log dari perbandingan antara peluang membeli mobil dengan peluang tidak membeli mobil. Oleh karenanya juga, koefisien dalam persamaan ini menunjukkan pengaruh dari umur, jenis kelamin dan pendapatan terhadap peluang relative individu membeli mobil yang dibandingkan dengan peluang tidak membeli mobil.
Selanjutnya, untuk menguji faktor mana yang berpengaruh nyata terhadap keputusan pilihan membeli mobil tersebut, dapat menggunakan uji signifikansi dari parameter koefisien secara parsial dengan statistik uji Wald, yang serupa dengan statistik uji t atau uji Z dalam regresi linear biasa, yaitu dengan membagi koefisien terhadap standar error masing-masing koefisien.
Dari output SPSS ditampilkan nilai Wald dan p-valuenya. Berdasarkan nilai p-value (dan menggunakan kriteria pengujian α=10%), dapat dilihat seluruh variabel (kecuali X3_1), berpengaruh nyata (memiliki p-value dibawah 10%) terhadap keputusan membeli mobil.
Lalu, bagaimana interpretasi koefisien regresi logit dari persamaan di atas ? Dalam model regresi linear, koefisien βi menunjukkan perubahan nilai variabel dependent sebagai akibat perubahan satu satuan variabel independent. Hal yang sama sebenarnya juga berlaku dalam model regresi logit, tetapi secara matematis sulit diinterpretasikan.
Koefisien dalam model logit menunjukkan perubahan dalam logit sebagai akibat perubahan satu satuan variabel independent. Interpretasi yang tepat untuk koefisien ini tentunya tergantung pada kemampuan menempatkan arti dari perbedaan antara dua logit. Oleh karenanya, dalam model logit, dikembangkan pengukuran yang dikenal dengan nama odds ratio (ψ). Odds ratio untuk masing-masing variabel ditampilkan oleh SPSS sebagaimana yang terlihat tabel diatas (kolom Exp(B)).
Odds ratio dapat dirumuskan: ψ = eβ, dimana e adalah bilangan 2,71828 dan β adalah koefisien masing-masing variabel. Sebagai contoh, odds ratio untuk variabel X2 = e-0.1602 = 0,201 (lihat output SPSS).
Dalam kasus variabel X2 (jenis kelamin dimana 1 = wanita dan 0 = pria), dengan odds ratio sebesar 0,201 dapat diartikan bahwa peluang wanita untuk membeli mobil adalah 0,201 kali dibandingkan pria, jika umur dan pendapatan mereka sama. Artinya wanita memiliki peluang lebih rendahi dalam membeli mobil dibandingkan pria.
Dalam kasus variabel X1 (umur), dengan odds ratio sebesar 1,153 dapat diartikan bahwa konsumen yang berumur lebih tua satu tahun peluang membeli mobilnya adalah 1,153 kali dibandingkan konsumen umur yang lebih muda (satu tahun), jika pendapatan dan jenis kelamin mereka sama. Artinya orang yang lebih tua memiliki peluang yang lebih tinggi dalam membeli mobil.
Dalam konteks umur ini (yang merupakan variabel dengan skala ratio), hati-hati menginterpretasikan nilai perbedaan peluangnya. Jika perbedaan umur lebih dari 1 tahun, misalnya 10 tahun, maka odds rationya akan menjadi 4,14, yang diperoleh dari perhitungan sbb: ψ=e(10 x 0.142) . Artinya peluang membeli mobil konsumen yang berumur lebih tua 10 tahun adalah 4,14 kali dibandingkan konsumen yang lebih muda (10 tahun) darinya.
Selanjutnya, dalam konteks variabel pendapatan, terlihat bahwa X31 tidak berpengaruh signifikan. Artinya, peluang membeli mobil antara konsumen pendapatan sedang dan pendapatan rendah adalah sama saja. Sebaliknya, untuk X32, dapat diinterpretasikan bahwa peluang membeli mobil konsumen pendapatan tinggi adalah 6,45 kali dibandingkan pendapatan rendah, jika umur dan jenis kelaminnya sama.



Tulisan Terkait:
Model Pilihan Kualitatif(Seri 5. Model Ekonometrik dg SPSS)
Bentuk Fungsional Regresi Linear(Seri 4b. Model Ekonometrik dg SPSS)
Bentuk Fungsional Regresi Linear (Seri 4a. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi dengan Variabel Dummy (Seri 3. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Berganda (Seri 2. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Sederhana (Seri 1. Model Ekonometrik dg SPSS)

Baca Selengkapnya..

Model Pilihan Kualitatif (Seri 5 Model Ekonometrik dg SPSS)

Seri ke lima dari tulisan mengenai model ekonometrik kali ini akan membahas mengenai model pilihan kualitatif (Model of Qualitative Choice). Apa itu model pilihan kualitatif ?
Model pilihan kualitatif adalah model dengan variabel terikatnya berskala pengukuran nominal atau ordinal. Dengan kata lain, dalam model regresi ini melibatkan dua atau lebih pilihan kualitatif.

Ketika variabel bebas memiliki skala pengukuran nominal atau ordinal, kita dapat membentuk variabel dummy dan mengestimasi persamaan regresi dengan metode OLS (Ordinary Least Square) sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya. Namun demikian, jika variabel terikat memiliki skala pengukuran nominal atau ordinal, estimasi menggunakan metode OLS akan menghasilkan permasalahan yang terkait dengan pelanggaran asumsi-asumsi klasik, terutama asumsi residual yang berdistribusi normal dan asumsi homoskedastisitas.
Banyak model pilihan kualitatif dan metode estimasinya. Namun, dalam bagian ini hanya akan diberikan model logit dengan berbagai variasinya. Model logit selain lebih sering digunakan, interpretasi modelnya juga lebih sederhana dibandingkan model-model pilihan kualitatif lainnya.
Model logit juga dapat dibedakan atas skala pengukuran dan banyaknya kategori data pada variabel terikatnya sebagai berikut:
1. Model Binary Logit.
Model dengan variabel terikat hanya terdiri dari dua kategori. Misalnya model untuk memprediksi keputusan individu membeli mobil atau tidak. Contoh lain, misalnya model yang menganalisis pengaruh faktor-faktor sosial ekonomi terhadap terlibat atau tidaknya wanita dalam angkatan kerja.
2. Model Multinomial Logit
Model dengan variabel terikat memiliki lebih dari dua kategori dan berskala nominal. Misalnya model yang memprediksi keputusan pemilih dalam memilih antara partai sosialis, nasionalis atau partai berbasis agama.
3. Model Ordinal Logit
Model dengan variabel terikat memiliki lebih dari dua kategori dan berskala ordinal. Misalnya model yang memprediksi keputusan konsumen dalam berbelanja antara pasar tradisional, pasar semi-modern dan pasar modern (supermarket atau hipermarket).
Dalam mengestimasi model logit juga terdapat beberapa metode yaitu metode maximum likelihood, noninteractive weighted least square dan discriminant function analysis. Namun demikian, metode yang umum digunakan dalam software paket-paket statistic adalah metode maximum likelihood.
Ok, sebagai pengantar kita cukupkan sekian dulu. Insya Allah kita lanjutkan pada seri-seri tulisan berikutnya mengenai aplikasi perhitungan ketiga bentuk model logit tersebut dengan SPSS.



Tulisan Terkait:
Regresi Binary Logit (Seri 6. Model Ekonometrik dg SPSS)
Bentuk Fungsional Regresi Linear(Seri 4b. Model Ekonometrik dg SPSS)
Bentuk Fungsional Regresi Linear (Seri 4a. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi dengan Variabel Dummy (Seri 3. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Berganda (Seri 2. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Sederhana (Seri 1. Model Ekonometrik dg SPSS)

Baca Selengkapnya..

Bentuk Fungsional Regresi Linear (Seri 4b Model Ekonometrik dg SPSS)

Sebagai kelanjutan dari tulisan mengenai bentuk-bentuk fungsional model regresi, pada bagian ini akan dibahas dua bentuk umum lainnya yaitu model semilog dan model resiprokal
1.Model Semilog
Model semilog adalah model dimana hanya salah satu variabel (Y atau X) yang ditransformasi secara logaritma. Bentuk modelnya sebagai berikut:
lnYi = α0 + α1Xi + ui
atau
Yi = β0 + β1lnXi + ui
α1 mengukur perubahan relatif (persentase) Y yang disebabkan oleh perubahan absolut dari X. Model ini disebut juga dengan model pertumbuhan tetap, karena mengukur tingkat pertumbuhan yang konstan sepanjang waktu seperti trend kesempatan kerja, produktivitas, dan lainnya. Sedangkan untuk model kedua, β1 mengukur perubahan absolut Y yang disebabkan oleh perubahan relatif (persentase) dari X.
Sebagai contoh, dengan menggunakan data yang sama pada latihan di tulisan seri 4a sebelumnya, dan misalnya yang kita transformasikan secara logaritma pada model ini adalah harga (X), sedangkan penawaran tetap menggunakan nilai absolutnya. Akan didapatkan output SPSS sebagai berikut:


Output SPSS tersebut dapat diringkas sebagai berikut:

Catatan: * signifikan pada α = 10%, ** signifikan pada α = 5 %, *** signifikan pada α = 1%
Nilai P-value pada koefisien lnXi lebih kecil dibandingkan nilai α = 1% (Kita juga bisa bandingkan t-hitung dan t tabel). Artinya terdapat pengaruh yang sangat signifikan secara statistik antara harga dan penawaran. Selanjutnya koefisien dapat diinterpretasikan sebagai berikut: Untuk setiap peningkatan sebesar Rp 1 % dari harga, maka akan meningkatkan penawaran (produksi) sebesar 1160 unit (nilai koefisien lnXi).
2. Model Resiprokal
Model resiprokal juga cukup populer digunakan dalam penelitian-penelitian ekonomi. Model ini dapat dirumuskan:
Yi = β0 +β1(1/Xi) + ui
Model ini meskipun tidak linear dalam variabel (1/Xi) tetapi linear dalam parameter (β1), karenanya masih dikategorikan sebagai model regresi linear.
Model ini memiliki sifat dimana Y akan turun secara kontinyu pada saat X meningkat, dan jika X sangat besar, maka Y akan memiliki nilai mendekati β1. Oleh karenanya, model ini bisa digunakan untuk menggambarkan perilaku biaya produksi tetap rata-rata (AFC), dimana AFC (Y) akan menurun secara kontinyu ketika X (produksi) meningkat (karena biaya tetap dibebankan pada jumlah unit produksi yang lebih banyak).
Dalam aplikasi SPSS, untuk mengestimasi model resiprokal ini, nilai observasi X terlebih dahulu ditransformasi dalam bentuk perhitungan 1/X. Bagaimana cara mentransformasi variabel X tersebut dengan SPSS ?
Misalnya dalam contoh data kita sebelumnya, klik Transform > Compute Variable. Akan muncul tampilan berikut:

Isikan pada kotak Target Variable, nama dari variabel yang akan kita buat. Dalam contoh diatas adalah Xr (catatan: jangan menggunakan nama 1/X, karena untuk nama variabel hanya boleh huruf dan angka. Simbol lain tidak diperkenankan). Selanjutnya pada kotak Numeric Expression, isikan rumus 1/X. Klik OK, maka akan muncul variabel baru sebagai transformasi variabel X menjadi 1/X.
Setelah mendapatkan variabel 1/X, selanjutnya lakukan estimasi seperti prosedur untuk estimasi regresi seperti yang dijelaskan sebelumnya.



Tulisan Terkait:
Regresi Binary Logit (Seri 6. Model Ekonometrik dg SPSS)
Model Pilihan Kualitatif(Seri 5. Model Ekonometrik dg SPSS)
Bentuk Fungsional Regresi Linear (Seri 4a. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi dengan Variabel Dummy (Seri 3. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Berganda (Seri 2. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Sederhana (Seri 1. Model Ekonometrik dg SPSS)

Baca Selengkapnya..

Bentuk Fungsional Regresi Linear (Seri 4a Model Ekonometrik dg SPSS)

Model-model regresi yang dikemukakan sebelumnya adalah model yang linear dalam paramater dan variabel. Namun, pengertian regresi linear yang lebih umum adalah regresi tersebut linear dalam parameter (atau yang secara intrinsik bisa dibuat linear melalui transformasi variabel), sedangkan variabelnya boleh saja bersifat linear atau tidak. Misalnya, persamaan Y = β0+ β1Xi2 dapat digolongkan sebagai regresi linear, karena paramaternya (β1) bersifat linear, meskipun variabelnya (Xi2) tidak bersifat linear.
Berdasarkan hal tersebut, dapat dikembangkan berbagai berbagai bentuk fungsional model regresi. Bentuk pertama yang akan kita bahas dalam tulisan ini adalah Model Double-Log sebagai berikut:
Misalnya suatu model: Yi = β0Xiβ1eui
Model tersebut adalah terlihat tidak linear dalam parameter, tetapi secara intrinsik bisa dibuat linear dengan transformasi sebagai berikut:
lnYi = lnβ0 + β1lnXi + ui
ln = logaritma natural (logaritma dengan bilangan dasar e = 2,71828)
Jika α = lnβ0, Yi* = lnYi dan Xi* = lnXi , persamaan tersebut dapat ditulis kembali menjadi:
Yi* = α + β1Xi*+ ui
Model ini dinamakan dengan model double-log. Hal yang perlu diperhatikan dalam model double-log adalah, koefisien β1 dapat ditafsirkan sebagai elastisitas yaitu persentase perubahan variabel Y sebagai akibat persentase perubahan variabel X. Dengan demikian, jika X merupakan harga dan Y adalah permintaan, maka koefisien β1 dapat diinterpretasikan sebagai elastisitas harga.
Sebagai contoh, misalnya kita punya data selama tahun 1993 – 2008 mengenai harga suatu produk (X dalam ribuan rupiah) dan jumlah produksi (Y dalam ribuan unit) yang diasumsikan sebagai jumlah barang yang ditawarkan sebagai berikut:


Setelah data tersebut diinput di SPSS, langkah pertama kita adalah mentransformasi data kedalam nilai logaritma natural dengan cara: Klik Transform > Compute Variable. Akan muncul tampilan berikut:

Di kotak Target Variable isikan nama variabel untuk menampung hasil transformasi. Misalnya dalam contoh lnX untuk logaritma variabel X. Di kotak Numeric Expression tuliskan rumus berikut: LN(X). Kemudian klik OK.
Lakukan proses yang sama untuk variabel Y. Secara otomatis, dalam worksheet SPSS kita akan ditambahkan dua variabel baru yaitu LnX dan LnY.
Setelah itu klik Analyze > Regression > Linear. Akan muncul tampilan berikut:

Isikan pada Dependent dengan variabel lnY dan di independent dengan variabel lnX. Klik OK. Maka akan keluar output SPSS sebagai berikut:

Output SPSS tersebut dapat diringkas sebagai berikut:

Catatan: * signifikan pada α = 10%, ** signifikan pada α = 5 %, *** signifikan pada α = 1%
Nilai P-value pada koefisien lnXi lebih kecil dibandingkan nilai α = 1%. Artinya terdapat pengaruh yang sangat signifikan secara statistik antara harga dan penawaran. Selanjutnya koefisien dapat diinterpretasikan sebagai berikut: Untuk setiap peningkatan sebesar Rp 1 % dari harga, maka akan meningkatkan penawaran (produksi) sebesar 1,205 % (nilai koefisien lnXi). Dengan kata lain, elastisitas harga penawaran untuk produk ini adalah sebesar 1,205 (elastis).
Penjelasan lainnya dari angka-angka didalam output SPSS dan model regresi, silakan ikuti tulisan-tulisan sebelum ini.



Tulisan Terkait:
Regresi Binary Logit (Seri 6. Model Ekonometrik dg SPSS)
Model Pilihan Kualitatif(Seri 5. Model Ekonometrik dg SPSS)
Bentuk Fungsional Regresi Linear(Seri 4b. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi dengan Variabel Dummy (Seri 3. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Berganda (Seri 2. Model Ekonometrik dg SPSS)
Regresi Linear Sederhana (Seri 1. Model Ekonometrik dg SPSS)

Baca Selengkapnya..